Этим видео я начинаю длинную серию уроков, посвященную производным. Этот урок состоит из нескольких частей.
В первую очередь, я расскажу вам, что вообще такое производные и как их считать, но не мудреным академическим языком, а так, как я сам это понимаю и как объясняю своим ученикам. Во-вторых, мы рассмотрим простейшее правило для решения задач, в которых будем искать производные суммы, производные разности и производные степенной функции.
Мы рассмотрим более сложные комбинированные примеры, из которых вы, в частности, узнаете, что подобные задачи, содержащие корни и даже дроби, могут быть решены при использовании формулы производной степенной функции. Кроме того, конечно, будет множество задач и примеров решений самого разного уровня сложности.
Вообще, изначально я собирался записать коротенький 5-минутный ролик, но сами видите, что из этого получилось. Поэтому хватит лирики — приступаем к делу.
Что такое производная?
Итак, начнем издалека. Много лет назад, когда деревья были зеленее, а жизнь была веселее, математики задумались вот над чем: рассмотрим простую функцию, заданную своим графиком, назовем ее $y=fleft(x right)$. Разумеется, график существует не сам по себе, поэтому нужно провести оси $x$, а также ось $y$. А теперь давайте выберем любую точку на этом графике, абсолютно любую. Абсциссу назовем ${{x}_{1}}$, ордината, как не трудно догадаться, будет $fleft({{x}_{1}} right)$.
Рассмотрим на том же графике еще одну точку. Не важно, какую, главное, чтобы она отличалась от первоначальной. У нее, опять же, есть абсцисса, назовем ее ${{x}_{2}}$, а также ордината — $fleft({{x}_{2}} right)$.
Итак, мы получили две точки: у них разные абсциссы и, следовательно, разные значения функции, хотя последнее — необязательно. А вот что действительно важно, так это что, что из курса планиметрии нам известно: через две точки можно провести прямую и, причем, только одну. Вот давайте ее и проведем.
А теперь проведем через самую первую из них прямую, параллельную оси абсцисс. Получим прямоугольный треугольник. Давайте его обозначим $ABC$, прямой угол $C$. У этого треугольника возникает одно очень интересное свойство: дело в том, что угол$alpha $, на самом деле, равен углу, под которым пересекается прямая $AB$ с продолжением оси абсцисс. Судите сами:
- прямая $AC$параллельна оси $Ox$ по построению,
- прямая $AB$ пересекает $AC$ под $alpha $,
- следовательно, $AB$ пересекает $Ox$под тем же самым $alpha $.
Что мы можем сказать об $text{ }!!alpha!!text{ }$? Ничего конкретного, разве что в треугольнике $ABC$отношение катета $BC$ к катету $AC$ равно тангенсу этого самого угла. Так и запишем:
Разумеется, $AC$ в данном случае легко считается:
Точно также и $BC$:
Другими словами, мы можем записать следующее:
[operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }=frac{fleft({{x}_{2}} right)-fleft({{x}_{1}} right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}]
Теперь, когда мы все это выяснили, давайте вернемся к нашему графику и рассмотрим новую точку $B$. Сотрем старые значения и возьмем и возьмем $B$ где-нибудь поближе к ${{x}_{1}}$. Вновь обозначим ее абсциссу за ${{x}_{2}}$, а ординату — $fleft({{x}_{2}} right)$.
Вновь рассмотрим наш маленький треугольник $ABC$и $text{ }!!alpha!!text{ }$ внутри него. Совершенно очевидно, что это будет уже совсем другой угол, тангенс будет также другим потому, что длины отрезков $AC$ и $BC$ существенно изменились, а формула для тангенса угла нисколько не поменялась — это по-прежнему соотношение между изменением функции и изменением аргумента.
Наконец, продолжаем двигать $B$ все ближе к изначальной точке $A$, в результате треугольник еще уменьшится, а прямая, содержащая отрезок $AB$, все больше будет походить на касательную к графику функции.
В итоге, если продолжать сближение точек, т. е., уменьшать расстояние до нуля, то прямая $AB$, действительно, превратится в касательную к графику в данной точке, а $text{ }!!alpha!!text{ }$превратится из обычного элемента треугольника в угол между касательной к графику и положительным направлением оси $Ox$.
И вот тут мы плавно переходим к определению$f$, а именно, производной функции в точке ${{x}_{1}}$ называется тангенс угла $alpha $ между касательной к графику в точке ${{x}_{1}}$ и положительным направлением оси $Ox$:
[{f}»left({{x}_{1}} right)=operatorname{tg}text{ }!!alpha!!text{ }]
Читайте также:
Возвращаясь к нашему графику, следует отметить, что в качестве ${{x}_{1}}$ можно выбрать любую точку на графике. Например, с тем же успехом мы могли снять штрих в точке, показанной на рисунке.
Угол между касательной и положительным направлением оси назовем $beta $. Соответственно, $f$ в ${{x}_{2}}$ будет равна тангенсу этого угла $beta $.
[{f}»left({{x}_{2}} right)=tgtext{ }!!beta!!text{ }]
В каждой точке графика будет своя касательная, а, следовательно, свое значение функции. В каждом из этих случаев помимо точки, в которой мы ищем производную разности или суммы, или производную степенной функции, необходимо взять другую точку, находящуюся на некотором расстоянии от нее, а затем устремить эту точку к исходной и, разумеется, выяснить, как в процессе такого движения будет меняться тангенс угла наклона.
Производная степенной функции
К сожалению, подобное определение нас совершено не устраивает. Все эти формулы, картинки, углы не дают нам ни малейшего представления о том, как считать реальную производную в реальных задачах. Поэтому давайте немного отвлечемся от формального определения и рассмотрим более действенные формулы и приемы, с помощью которых уже можно решать настоящие задачи.
Начнем с самых простых конструкций, а именно, функций вида $y={{x}^{n}}$, т.е. степенных функций. В этом случае мы можем записать следующее: ${y}»=ncdot {{x}^{n-1}}$. Другими словами, степень, которая стояла в показателе, показывается в множителе спереди, а сам показатель уменьшается на единицу. Например:
[begin{align}& y={{x}^{2}} & {y}»=2cdot {{x}^{2-1}}=2x end{align}]
А вот другой вариант:
[begin{align}& y={{x}^{1}} & {y}»={{left(x right)}^{prime }}=1cdot {{x}^{0}}=1cdot 1=1 & {{left(x right)}^{prime }}=1 end{align}]
Пользуясь этими простыми правилами, давайте попробуем снять штрих следующих примеров:
Итак, мы получаем:
[{{left({{x}^{6}} right)}^{prime }}=6cdot {{x}^{5}}=6{{x}^{5}}]
Теперь решим второе выражение:
[begin{align}& fleft(x right)={{x}^{100}} & {{left({{x}^{100}} right)}^{prime }}=100cdot {{x}^{99}}=100{{x}^{99}} end{align}]
Разумеется, это были очень простые задачи. Однако реальные задачи более сложные и они не ограничиваются одними лишь степенями функции.
Итак, правило № 1 – если функция представлена в виде других двух, то производная этой суммы равна сумме производных:
[{{left(f+g right)}^{prime }}={f}»+{g}»]
Аналогично, производная разности двух функций равна разности производных:
[{{left(f-g right)}^{prime }}={f}»-{g}»]
[{{left({{x}^{2}}+x right)}^{prime }}={{left({{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left(x right)}^{prime }}=2x+1]
Кроме того, есть еще одно важное правило: если перед некоторой $f$ стоит константа $c$, на которую эта функция умножается, то $f$ всей этой конструкции считается так:
[{{left(ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}»]
[{{left(3{{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{left({{x}^{3}} right)}^{prime }}=3cdot 3{{x}^{2}}=9{{x}^{2}}]
Наконец, еще одно очень важное правило: в задачах часто встречается отдельное слагаемое, которое вообще не содержит $x$. Например, мы можем наблюдать это в наших сегодняшних выражениях. Производная константы, т. е., числа, никак не зависящего от $x$, всегда равна нулю, причем совершенно неважно, чему равна константа $c$:
[{{left(c right)}^{prime }}=0]
Пример решения:
[{{left(1001 right)}^{prime }}={{left(frac{1}{1000} right)}^{prime }}=0]
Еще раз ключевые моменты:
- Производная суммы двух функций всегда равна сумме производных: ${{left(f+g right)}^{prime }}={f}»+{g}»$;
- По аналогичным причинам производная разности двух функций равна разности двух производных: ${{left(f-g right)}^{prime }}={f}»-{g}»$;
- Если у функции присутствует множитель константа, то эту константу можно выносить за знак производной: ${{left(ccdot f right)}^{prime }}=ccdot {f}»$;
- Если вся функция представляет собой константу, то ее производная всегда ноль: ${{left(c right)}^{prime }}=0$.
Давайте посмотрим, как все это работает на реальных примерах. Итак:
Записываем:
[begin{align}& {{left({{x}^{5}}-3{{x}^{2}}+7 right)}^{prime }}={{left({{x}^{5}} right)}^{prime }}-{{left(3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{7}»= & =5{{x}^{4}}-3{{left({{x}^{2}} right)}^{prime }}+0=5{{x}^{4}}-6x end{align}]
В этом примере мы видим и производную суммы, и производную разности. Итого, производная равна $5{{x}^{4}}-6x$.
Переходим ко второй функции:
Записываем решение:
[begin{align}& {{left(3{{x}^{2}}-2x+2 right)}^{prime }}={{left(3{{x}^{2}} right)}^{prime }}-{{left(2x right)}^{prime }}+{2}»= & =3{{left({{x}^{2}} right)}^{prime }}-2{x}»+0=3cdot 2x-2cdot 1=6x-2 end{align}]
Вот мы и нашли ответ.
Переходим к третьей функции — она уже посерьезней:
[begin{align}& {{left(2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+frac{1}{2}x-5 right)}^{prime }}={{left(2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left(3{{x}^{2}} right)}^{prime }}+{{left(frac{1}{2}x right)}^{prime }}-{5}»= & =2{{left({{x}^{3}} right)}^{prime }}-3{{left({{x}^{2}} right)}^{prime }}+frac{1}{2}cdot {x}»=2cdot 3{{x}^{2}}-3cdot 2x+frac{1}{2}cdot 1=6{{x}^{2}}-6x+frac{1}{2} end{align}]
Ответ мы нашли.
Переходим к последнему выражению — самому сложному и самому длинному:
Итак, считаем:
[begin{align}& {{left(6{{x}^{7}}-14{{x}^{3}}+4x+5 right)}^{prime }}={{left(6{{x}^{7}} right)}^{prime }}-{{left(14{{x}^{3}} right)}^{prime }}+{{left(4x right)}^{prime }}+{5}»= & =6cdot 7cdot {{x}^{6}}-14cdot 3{{x}^{2}}+4cdot 1+0=42{{x}^{6}}-42{{x}^{2}}+4 end{align}]
Но на этом решение не заканчивается, потому что нас просят не просто снять штрих, а посчитать ее значение в конкретной точке, поэтому подставляем в выражение −1 вместо $x$:
[{y}»left(-1 right)=42cdot 1-42cdot 1+4=4]
Идем далее и переходим к еще более сложным и интересным примерам. Дело в том, что формула решения степенной производной ${{left({{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}$ имеет еще более широкую область применения, чем обычно принято считать. С ее помощью можно решать примеры с дробями, корнями и т. д. Именно этим мы сейчас и займемся.
Для начала еще раз запишем формулу, которая поможет нам найти производную степенной функции:
А теперь внимание: до сих пор мы рассматривали в качестве $n$ лишь натуральные числа, однако ничего не мешаем рассмотреть дроби и даже отрицательные числа. Например, мы можем записать следующее:
[begin{align}& sqrt{x}={{x}^{frac{1}{2}}} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{1}{2}}} right)}^{prime }}=frac{1}{2}cdot {{x}^{-frac{1}{2}}}=frac{1}{2}cdot frac{1}{sqrt{x}}=frac{1}{2sqrt{x}} end{align}]
Ничего сложного, поэтому посмотрим, как эта формула поможет нам при решении более сложных задач. Итак, пример:
Записываем решение:
[begin{align}& left(sqrt{x}+sqrt{x}+sqrt{x} right)={{left(sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left(sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left(sqrt{x} right)}^{prime }} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}=frac{1}{2sqrt{x}} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot {{x}^{-frac{2}{3}}}=frac{1}{3}cdot frac{1}{sqrt{{{x}^{2}}}} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}{{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4}cdot frac{1}{sqrt{{{x}^{3}}}} end{align}]
Возвращаемся к нашему примеру и записываем:
[{y}»=frac{1}{2sqrt{x}}+frac{1}{3sqrt{{{x}^{2}}}}+frac{1}{4sqrt{{{x}^{3}}}}]
Вот такое сложное решение.
Переходим ко второму примеру — здесь всего два слагаемых, но каждое из них содержит как классическую степень, так и корни.
Сейчас мы узнаем, как найти производную степенной функции, которая, кроме того, содержит и корень:
[begin{align}& {{left({{x}^{3}}sqrt{{{x}^{2}}}+{{x}^{7}}sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{3}}cdot sqrt{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left({{x}^{3}}cdot {{x}^{frac{2}{3}}} right)}^{prime }}= & ={{left({{x}^{3+frac{2}{3}}} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{11}{3}}} right)}^{prime }}=frac{11}{3}cdot {{x}^{frac{8}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2frac{2}{3}}}=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt{{{x}^{2}}} & {{left({{x}^{7}}cdot sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{7}}cdot {{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}={{left({{x}^{7frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=7frac{1}{3}cdot {{x}^{6frac{1}{3}}}=frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt{x} end{align}]
Оба слагаемых посчитаны, осталось записать окончательный ответ:
[{y}»=frac{11}{3}cdot {{x}^{2}}cdot sqrt{{{x}^{2}}}+frac{22}{3}cdot {{x}^{6}}cdot sqrt{x}]
Мы нашли ответ.
Производная дроби через степенную функцию
Но и на этом возможности формулы для решения производной степенной функции не заканчиваются. Дело в том, что с ее помощью можно считать не только примеры с корнями, но также и с дробями. Это как раз та редкая возможность, которая значительно упрощает решение таких примеров, но при этом зачастую игнорируется не только учениками, но и учителями.
Итак, сейчас мы попытаемся совместить сразу две формулы. С одной стороны, классическая производная степенной функции
[{{left({{x}^{n}} right)}^{prime }}=ncdot {{x}^{n-1}}]
С другой стороны мы знаем, что выражение вида $frac{1}{{{x}^{n}}}$ представимо в виде ${{x}^{-n}}$. Следовательно,
[left(frac{1}{{{x}^{n}}} right)»={{left({{x}^{-n}} right)}^{prime }}=-ncdot {{x}^{-n-1}}=-frac{n}{{{x}^{n+1}}}]
[{{left(frac{1}{x} right)}^{prime }}=left({{x}^{-1}} right)=-1cdot {{x}^{-2}}=-frac{1}{{{x}^{2}}}]
Таким образом, производные простых дробей, где в числителе стоит константа, а в знаменателе — степень, также считаются с помощью классической формулы. Посмотрим, как это работает на практике.
Итак, первая функция:
[{{left(frac{1}{{{x}^{2}}} right)}^{prime }}={{left({{x}^{-2}} right)}^{prime }}=-2cdot {{x}^{-3}}=-frac{2}{{{x}^{3}}}]
Первый пример решен, переходим ко второму:
[begin{align}& {{left(frac{7}{4{{x}^{4}}}-frac{2}{3{{x}^{3}}}+frac{5}{2}{{x}^{2}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{4}} right)}^{prime }}= & ={{left(frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}-{{left(frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+{{left(2{{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left(3{{x}^{4}} right)}^{prime }} & {{left(frac{7}{4{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}{{left(frac{1}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot {{left({{x}^{-4}} right)}^{prime }}=frac{7}{4}cdot left(-4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{-7}{{{x}^{5}}} & {{left(frac{2}{3{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left(frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot {{left({{x}^{-3}} right)}^{prime }}=frac{2}{3}cdot left(-3 right)cdot {{x}^{-4}}=frac{-2}{{{x}^{4}}} & {{left(frac{5}{2}{{x}^{2}} right)}^{prime }}=frac{5}{2}cdot 2x=5x & {{left(2{{x}^{3}} right)}^{prime }}=2cdot 3{{x}^{2}}=6{{x}^{2}} & {{left(3{{x}^{4}} right)}^{prime }}=3cdot 4{{x}^{3}}=12{{x}^{3}} end{align}]…
Теперь собираем все эти слагаемые в единую формулу:
[{y}»=-frac{7}{{{x}^{5}}}+frac{2}{{{x}^{4}}}+5x+6{{x}^{2}}-12{{x}^{3}}]
Мы получили ответ.
Однако прежде чем двигаться дальше, хотел бы обратить ваше внимание на форму записи самих исходных выражений: в первом выражении мы записали $fleft(x right)=…$, во втором: $y=…$ Многие ученики теряются, когда видят разные формы записи. Чем отличаются $fleft(x right)$ и $y$? На самом деле, ничем. Это просто разные записи с одним и тем же смыслом. Просто когда мы говорим $fleft(x right)$, то речь идет, прежде всего, о функции, а когда речь идет об $y$, то чаще всего подразумевается график функции. В остальном же это одно и то же, т. е., производная в обоих случаях считается одинаково.
Сложные задачи с производными
В заключение хотелось бы рассмотреть пару сложных комбинированных задач, в которых используется сразу все то, что мы сегодня рассмотрели. В них нас ждут и корни, и дроби, и суммы. Однако сложными эти примеры будут лишь в рамках сегодняшнего видеоурока, потому что по-настоящему сложные функции производных будут ждать вас впереди.
Итак, заключительная часть сегодняшнего видеоурока, состоящая из двух комбинированных задач. Начнем с первой из них:
[begin{align}& {{left({{x}^{3}}-frac{1}{{{x}^{3}}}+sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{3}} right)}^{prime }}-{{left(frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}+left(sqrt{x} right) & {{left({{x}^{3}} right)}^{prime }}=3{{x}^{2}} & {{left(frac{1}{{{x}^{3}}} right)}^{prime }}={{left({{x}^{-3}} right)}^{prime }}=-3cdot {{x}^{-4}}=-frac{3}{{{x}^{4}}} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{1}{3}}} right)}^{prime }}=frac{1}{3}cdot frac{1}{{{x}^{frac{2}{3}}}}=frac{1}{3sqrt{{{x}^{2}}}} end{align}]
Производная функции равна:
[{y}»=3{{x}^{2}}-frac{3}{{{x}^{4}}}+frac{1}{3sqrt{{{x}^{2}}}}]
Первый пример решен. Рассмотрим вторую задачу:
Во втором примере действуем аналогично:
[{{left(-frac{2}{{{x}^{4}}}+sqrt{x}+frac{4}{xsqrt{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left(-frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}+{{left(sqrt{x} right)}^{prime }}+{{left(frac{4}{xcdot sqrt{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}]
Посчитаем каждое слагаемое отдельно:
[begin{align}& {{left(-frac{2}{{{x}^{4}}} right)}^{prime }}=-2cdot {{left({{x}^{-4}} right)}^{prime }}=-2cdot left(-4 right)cdot {{x}^{-5}}=frac{8}{{{x}^{5}}} & {{left(sqrt{x} right)}^{prime }}={{left({{x}^{frac{1}{4}}} right)}^{prime }}=frac{1}{4}cdot {{x}^{-frac{3}{4}}}=frac{1}{4cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=frac{1}{4sqrt{{{x}^{3}}}} & {{left(frac{4}{xcdot sqrt{{{x}^{3}}}} right)}^{prime }}={{left(frac{4}{xcdot {{x}^{frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}={{left(frac{4}{{{x}^{1frac{3}{4}}}} right)}^{prime }}=4cdot {{left({{x}^{-1frac{3}{4}}} right)}^{prime }}= & =4cdot left(-1frac{3}{4} right)cdot {{x}^{-2frac{3}{4}}}=4cdot left(-frac{7}{4} right)cdot frac{1}{{{x}^{2frac{3}{4}}}}=frac{-7}{{{x}^{2}}cdot {{x}^{frac{3}{4}}}}=-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt{{{x}^{3}}}} end{align}]
Все слагаемые посчитаны. Теперь возвращаемся к исходной формуле и складываем вместе все три слагаемых. Получаем, что окончательный ответ будет таким:
[{y}»=frac{8}{{{x}^{5}}}+frac{1}{4sqrt{{{x}^{3}}}}-frac{7}{{{x}^{2}}cdot sqrt{{{x}^{3}}}}]
И на этом все. Это был первый наш урок. В следующих уроках мы рассмотрим более сложные конструкции, а также выясним, зачем вообще нужны производные.
Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e^2x, e^3x и e^nx. Формулы производных высших порядков.
Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)
(e x )′
= e x
.
Производная показательной функции с основанием степени a
равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a
:
(2)
.
Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x
Экспонента — это показательная функция, у которой основание степени равно числу e
,
которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной экспоненты
Рассмотрим экспоненту, e
в степени x
:
y = e x
.
Эта функция определена для всех .
Найдем ее производную по переменной x
.
По определению, производная является следующим пределом:
(3)
.
Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам. Для этого нам понадобятся следующие факты:
А)
Свойство экспоненты :
(4)
;
Б)
Свойство логарифма :
(5)
;
В)
Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)
.
Здесь — некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г)
Значение второго замечательного предела:
(7)
.
Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.
Сделаем подстановку .
Тогда ;
.
В силу непрерывности экспоненты,
.
Поэтому при ,
.
В результате получаем:
.
Сделаем подстановку .
Тогда .
При ,
.
И мы имеем:
.
Применим свойство логарифма (5):
.
Тогда
.
Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
.
Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда
.
Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.
Вывод формулы производной показательной функции
Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a
.
Мы считаем, что и .
Тогда показательная функция
(8)
Определена для всех .
Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции
и логарифма
.
;
.
Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:
.
Производные высших порядков от e в степени x
Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)
.
(1)
.
Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.
Производные высших порядков показательной функции
Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a
:
.
Мы нашли ее производную первого порядка:
(15)
.
Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.
Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на .
Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.
Определение степенно-показательной функции. Вывод формулы для вычисления ее производной. Подробно разобраны примеры вычисления производных степенно-показательных функций.
Степенно-показательная функция — это функция, имеющая вид степенной функции
y = u v
,
у которой основание u
и показатель степени v
являются некоторыми функциями от переменной x
:
u = u(x);
v = v(x).
Эту функцию также называют показательно-степенной
или .
Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:
.
Поэтому ее также называют сложной показательной функцией
.
Вычисление с помощью логарифмической производной
Найдем производную степенно-показательной функции
(2)
,
где и есть функции от переменной .
Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма :
.
Дифференцируем по переменной x
:
(3)
.
Применяем правила дифференцирования сложной функции
и произведения
:
;
.
Подставляем в (3):
.
Отсюда
.
Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1)
.
Если показатель степени являются постоянной, то .
Тогда производная равна производной сложной степенной функции:
.
Если основание степени являются постоянной, то .
Тогда производная равна производной сложной показательной функции:
.
Когда и являются функциями от x
,
то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций
.
Вычисление производной приведением к сложной показательной функции
Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2)
,
представив ее как сложную показательную функцию:
(4)
.
Дифференцируем произведение:
.
Применяем правило нахождения производной сложной функции:
.
И мы снова получили формулу (1).
Пример 1
Найти производную следующей функции:
.
Решение
Вычисляем с помощью логарифмической производной . Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1)
.
Из таблицы производных находим:
;
.
По формуле производной произведения имеем:
.
Дифференцируем (П1.1):
.
Поскольку
,
то
.
Ответ
Пример 2
Найдите производную функции
.
Решение
Логарифмируем исходную функцию:
(П2.1)
.
На котором мы разобрали простейшие производные, а также познакомились с правилами дифференцирования и некоторыми техническими приемами нахождения производных. Таким образом, если с производными функций у Вас не очень или какие-нибудь моменты данной статьи будут не совсем понятны, то сначала ознакомьтесь с вышеуказанным уроком. Пожалуйста, настройтесь на серьезный лад – материал не из простых, но я все-таки постараюсь изложить его просто и доступно.
На практике с производной сложной функции приходится сталкиваться очень часто, я бы даже сказал, почти всегда, когда Вам даны задания на нахождение производных.
Смотрим в таблицу на правило (№5) дифференцирования сложной функции:
Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись . Здесь у нас две функции – и , причем функция , образно говоря, вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию я буду называть внешней функцией
, а функцию – внутренней (или вложенной) функцией
.
! Данные определения не являются теоретическими и не должны фигурировать в чистовом оформлении заданий. Я применяю неформальные выражения «внешняя функция», «внутренняя» функция только для того, чтобы Вам легче было понять материал.
Для того, чтобы прояснить ситуацию, рассмотрим:
Пример 1
Найти производную функции
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение , поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Также мы замечаем, что здесь невозможно применить первые четыре правила, вроде бы есть разность, но дело в том, что «разрывать на части» синус нельзя:
В данном примере уже из моих объяснений интуитивно понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а – внешней функцией.
Первый шаг
, который нужно выполнить при нахождении производной сложной функции состоит в том, чтобы разобраться, какая функция является внутренней, а какая – внешней
.
В случае простых примеров вроде понятно, что под синус вложен многочлен . А как же быть, если всё не очевидно? Как точно определить, какая функция является внешней, а какая внутренней? Для этого я предлагаю использовать следующий прием, который можно проводить мысленно или на черновике.
Представим, что нам нужно вычислить на калькуляторе значение выражения при (вместо единицы может быть любое число).
Что мы вычислим в первую очередь?
В первую очередь
нужно будет выполнить следующее действие: , поэтому многочлен и будет внутренней функцией :
Во вторую очередь
нужно будет найти , поэтому синус – будет внешней функцией:
После того, как мы
РАЗОБРАЛИСЬ
с внутренней и внешней функциями самое время применить правило дифференцирования сложной функции
.
Начинаем решать. Из урока Как найти производную?
мы помним, что оформление решения любой производной всегда начинается так – заключаем выражение в скобки и ставим справа вверху штрих:
Сначала
находим производную внешней функции (синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что . Все табличные формулы применимы и в том, случае, если «икс» заменить сложным выражением
, в данном случае:
Обратите внимание, что внутренняя функция не изменилась, её мы не трогаем
.
Ну и совершенно очевидно, что
Результат применения формулы
в чистовом оформлении выглядит так:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Если осталось какое-либо недопонимание, перепишите решение на бумагу и еще раз прочитайте объяснения.
Пример 2
Найти производную функции
Пример 3
Найти производную функции
Как всегда записываем:
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Для этого пробуем (мысленно или на черновике) вычислить значение выражения при . Что нужно выполнить в первую очередь? В первую очередь нужно сосчитать чему равно основание: , значит, многочлен – и есть внутренняя функция:
И, только потом выполняется возведение в степень , следовательно, степенная функция – это внешняя функция:
Согласно формуле
, сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: . Повторяем еще раз:
любая табличная формула справедлива не только для «икс», но и для сложного выражения
. Таким образом, результат применения правила дифференцирования сложной функции
следующий:
Снова подчеркиваю, что когда мы берем производную от внешней функции , внутренняя функция у нас не меняется:
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции и немного «причесать» результат:
Пример 4
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Для закрепления понимания производной сложной функции приведу пример без комментариев, попробуйте самостоятельно разобраться, порассуждать, где внешняя и где внутренняя функция, почему задания решены именно так?
Пример 5
а) Найти производную функции
б) Найти производную функции
Пример 6
Найти производную функции
Здесь у нас корень, а для того, чтобы продифференцировать корень, его нужно представить в виде степени . Таким образом, сначала приводим функцию в надлежащий для дифференцирования вид:
Анализируя функцию, приходим к выводу, что сумма трех слагаемых – это внутренняя функция, а возведение в степень – внешняя функция. Применяем правило дифференцирования сложной функции
:
Степень снова представляем в виде радикала (корня), а для производной внутренней функции применяем простое правило дифференцирования суммы:
Готово. Можно еще в скобках привести выражение к общему знаменателю и записать всё одной дробью. Красиво, конечно, но когда получаются громоздкие длинные производные – лучше этого не делать (легко запутаться, допустить ненужную ошибку, да и преподавателю будет неудобно проверять).
Пример 7
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
Интересно отметить, что иногда вместо правила дифференцирования сложной функции можно использовать правило дифференцирования частного
, но такое решение будет выглядеть как извращение необычно. Вот характерный пример:
Пример 8
Найти производную функции
Здесь можно использовать правило дифференцирования частного
, но гораздо выгоднее найти производную через правило дифференцирования сложной функции:
Подготавливаем функцию для дифференцирования – выносим минус за знак производной, а косинус поднимаем в числитель:
Косинус – внутренняя функция, возведение в степень – внешняя функция.
Используем наше правило
:
Находим производную внутренней функции, косинус сбрасываем обратно вниз:
Готово. В рассмотренном примере важно не запутаться в знаках. Кстати, попробуйте решить его с помощью правила
, ответы должны совпасть.
Пример 9
Найти производную функции
Это пример для самостоятельного решения (ответ в конце урока).
До сих пор мы рассматривали случаи, когда у нас в сложной функции было только одно вложение. В практических же заданиях часто можно встретить производные, где, как матрешки, одна в другую, вложены сразу 3, а то и 4-5 функций.
Пример 10
Найти производную функции
Разбираемся во вложениях этой функции. Пробуем вычислить выражение с помощью подопытного значения . Как бы мы считали на калькуляторе?
Сначала нужно найти , значит, арксинус – самое глубокое вложение:
Затем этот арксинус единицы следует возвести в квадрат :
И, наконец, семерку возводим в степень :
То есть, в данном примере у нас три разные функции и два вложения, при этом, самой внутренней функцией является арксинус, а самой внешней функцией – показательная функция.
Начинаем решать
Согласно правилу
сначала нужно взять производную от внешней функции. Смотрим в таблицу производных и находим производную показательной функции: Единственное отличие – вместо «икс» у нас сложное выражение , что не отменяет справедливость данной формулы. Итак, результат применения правила дифференцирования сложной функции
следующий.
При
выводе самой первой формулы таблицы
будем исходить из определения
производнойфункции в точке. Возьмем ,
где
x
–
любое действительное число, то есть,
x
–
любое число из области определения
функции .
Запишем предел отношения приращения
функции к приращению аргумента при :
Следует
заметить, что под знаком предела
получается выражение ,
которое не являетсянеопределенностью
ноль делить на ноль, так как в числителе
находится не бесконечно малая величина,
а именно ноль. Другими словами, приращение
постоянной функции всегда равно нулю.
Таким
образом, производная
постоянной функции
равна
нулю на всей области определения
.
Производная степенной функции.
Формула
производной степенной функции имеет
вид
,
где показатель степени
p
–
любое действительное число.
Докажем
сначала формулу для натурального
показателя степени, то есть, для p
= 1, 2, 3, …
Будем
пользоваться определением производной.
Запишем предел отношения приращения
степенной функции к приращению
аргумента:
Для
упрощения выражения в числителе обратимся
к формуле бинома
Ньютона:
Следовательно,
Этим
доказана формула производной степенной
функции для натурального показателя.
Производная показательной функции.
Вывод
формулы производной приведем на основе
определения:
Пришли
к неопределенности. Для ее раскрытия
введем новую переменную ,
причем при .
Тогда .
В последнем переходе мы использовали
формулу перехода к новому основанию
логарифма.
Выполним
подстановку в исходный предел:
Если
вспомнить второй
замечательный предел, то придем к
формуле производной показательной
функции:
Производная логарифмической функции.
Докажем
формулу производной логарифмической
функции для всех
x
из
области определения и всех допустимых
значениях основания
a
логарифма.
По определению производной имеем:
Как
Вы заметили, при доказательстве
преобразования проводились с использованием
свойств логарифма. Равенство
справедливо
в силу второго замечательного предела.
Производные тригонометрических функций.
Для
вывода формул производных тригонометрических
функций нам придется вспомнить некоторые
формулы тригонометрии, а также первый
замечательный предел.
По
определению производной для функции
синуса имеем
.Воспользуемся
формулой разности синусов:
Осталось
обратиться к первому замечательному
пределу:
Таким
образом, производная функции sin
x
есть cos
x
.
Абсолютно
аналогично доказывается формула
производной косинуса.
Следовательно,
производная функции cos
x
есть –sin
x
.
Вывод
формул таблицы производных для тангенса
и котангенса проведем с использованием
доказанных правил дифференцирования
(производная
дроби).
Производные гиперболических функций.
Правила
дифференцирования и
формула производной показательной
функции из таблицы производных позволяют
вывести формулы производных гиперболического
синуса, косинуса, тангенса и котангенса.
Производная обратной функции.
Чтобы
при изложении не было путаницы, давайте
обозначать в нижнем индексе аргумент
функции, по которому выполняется
дифференцирование, то есть, —
это производная функции f(x)
по x
.
Теперь
сформулируем правило
нахождения производной обратной функции.
Пусть
функции
y
= f(x)
и
x
= g(y)
взаимно
обратные, определенные на
интервалах и соответственно.
Если в точке существует
конечная отличная от нуля производная
функции
f(x)
,
то в точке существует
конечная производная обратной
функции
g(y)
,
причем
.
В другой записи
.Можно
это правило переформулировать для
любого
x
из
промежутка ,
тогда получим
.
Давайте
проверим справедливость этих формул.
Найдем
обратную функцию для натурального
логарифма
(здесь
y
–
функция, а
x
—
аргумент). Разрешив это уравнение
относительно
x
,
получим (здесь
x
–
функция, а
y
–
ее аргумент). То есть,
и взаимно
обратные функции.Из таблицы
производных видим,
что
и
.Убедимся,
что формулы нахождения производных
обратной функции приводят нас к этим
же результатам:
